Question

（2013•武漢）已知四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：

DE

CF

=

AD

CD

；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形．試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得

DE

CF

=

AD

CD

成立？并證明你的結論；
（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．請直接寫出

DE

CF

的值．

Answer 1

分析：（1）根據矩形性質得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，證出△AED∽△DFC即可；
（2）當∠B+∠EGC=180°時，

DE

CF

=

AD

CD

成立，證△DFG∽△DEA，得出

DE

AD

=

DF

DG

，證△CGD∽△CDF，得出

DF

DG

=

CF

CD

，即可得出答案；
（3）過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，證△BCM∽△DCN，求出CM=

3

4

x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM²+CM²=BC²，代入得出方程（x-6）²+（

3

4

x）²=6²，求出CN=

192

25

，證出△AED∽△NFC，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴

DE

CF

=

AD

CD

；

（2）當∠B+∠EGC=180°時，

DE

CF

=

AD

CD

成立．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴

DE

AD

=

DF

DG

，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴

DF

DG

=

CF

CD

，
∴

DE

AD

=

CF

CD

，
∴

DE

CF

=

AD

CD

，
即當∠B+∠EGC=180°時，

DE

CF

=

AD

CD

成立．

（3）解：

DE

CF

=

25

24

．
理由是：過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設CN=x，
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四邊形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中

AD=CD AB=BC BD=BD

∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴

CM

CN

=

BC

CD

，
∴

CM

x

=

6

8

，
∴CM=

3

4

x，
在Rt△CMB中，CM=

3

4

x，BM=AM-AB=x-6，由勾股定理得：BM²+CM²=BC²，
∴（x-6）²+（

3

4

x）²=6²，
x=0（舍去），x=

192

25

，
CN=

192

25

，
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
∴

DE

CF

=

AD

CN

=

8

192 25

=

25

24

．

點評：本題考查了矩形性質和判定，勾股定理，平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質和定理進行推理的能力，題目比較好．