Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．
（1）證明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數；
（3）設DE交AB于點G，若DF=4，cosB= ，E是 的中點，求EGED的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，

∴∠AFD=180°﹣∠E，

又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：連接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，

∴AB=6，

∵E是 的中點，AB是⊙O的直徑，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=3，

∴AE=3 ，

∵E是 的中點，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴ = ，

即EGED=AE2=18．

【解析】（1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，再利用線段垂直平分線的性質得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圓內接四邊形的性質得出∠AFD=180°﹣∠E，進而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根據cosB= ，得出AB的長，即可求出AE的長，再判斷△AEG∽△DEA，求出EGED的值．