Question

【題目】如圖，點E正方形ABCD外一點，點F是線段AE上一點，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．

（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CB，∠ABC=90°，

∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，

∴BE=BF，

∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，

∴∠ABF=∠CBE．

在△ABF和△CBE中，有 ，

∴△ABF≌△CBE（SAS）

（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：

∵△EBF是等腰直角三角形，

∴∠BFE=∠FEB=45°，

∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，

又∵△ABF≌△CBE，

∴∠CEB=∠AFB=135°，

∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，

∴△CEF是直角三角形．

【解析】（1）由四邊形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通過角的計算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△ABF≌△CBE；（2）根據△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通過角的計算可得出∠AFB=135°，再根據全等三角形的性質可得出∠CEB=∠AFB=135°，通過角的計算即可得出∠CEF=90°，從而得出△CEF是直角三角形．本題考查了正方形的性質．全等三角形的判定及性質、等腰直角三角形的性質以及角的計算，解題的關鍵是：（1）根據判定定理SAS證明△ABF≌△CBE；（2）通過角的計算得出∠CEF=90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過正方形和等腰三角形的性質找出相等的邊，再通過角的計算找出相等的角，以此來證明兩三角形全等是關鍵．