Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，且D是BC中點(diǎn)，DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線．

（2）若CF=3，cos∠CAB=，求⊙O的半徑和線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為，BD的長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)三角形的中位線定理證明OD∥AB，可得OD⊥EF，所以直線EF是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)cos∠FOD=cos∠CAB=，求得r的值，根據(jù)平行線分線段成比例定理得：，可得AE的長(zhǎng)，并計(jì)算BE的長(zhǎng)，證明△BDE∽△BAD，則，代入可得BD的長(zhǎng)．

（1）證明：連接OD．

∵OA=OC，DB=DC，∴OD∥AB．

∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴直線EF是⊙O的切線．

（2）如圖，連接AD，設(shè)⊙O的半徑為r．

在Rt△ODF中，∵cos∠FOD=cos∠CAB====，∴r=，∴AB=2DO=9．

∵OD∥AB，∴，即=，AE=，∴BE=AB﹣AE=9﹣=．

∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°．

∵DE⊥AB，∴∠B+∠BDE=90°，∴∠ADE=∠B，∴△BDE∽△BAD，∴，∴BD2=ABBE，∴BD2=9×=，∴BD=，∴⊙O的半徑為，BD的長(zhǎng)為．