Question

25、如圖，直線l₁、l₂相交于點A，點B、點C分別在直線l₁、l₂上，AB=k•AC，連接BC，點D是線段AC上任意一點（不與A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，與∠ECF的一邊交于點E，且∠ECF=∠ABC．
（1）如圖1，若k=1，且∠α=90°時，猜想線段BD與DE的數量關系，并加以證明；
（2）如圖2，若k≠1，且∠α≠90°時，猜想線段BD與DE的數量關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）連接BE．若k=1，且∠α=90°時，要求線段BD與DE的數量關系，可以通過證明△BED∽△BCA得出；
（2）連接BE．若k≠1，且∠α≠90°時，要求線段BD與DE的數量關系，可以通過證明△BED∽△BCA得出．

解答：證明：（1）連接BE．
∵∠ECF=∠ABC，
∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BCE=∠BAC；
∵∠BDE=∠BAC=α=90°，
∴B、E、D、C四點共圓，
∴∠BED=∠BCA，
∴△BED∽△BCA，
∴BD：DE=AB：AC=k=1，
∴BD=DE．

（2）連接BE．
∵∠ECF=∠ABC，
∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BCE=∠BAC；
∵∠BDE=∠BAC=α，
∴B、E、D、C四點共圓，
∴∠BED=∠BCA，
∴△BED∽△BCA，
∴BD：DE=AB：AC=k，
∴BD=k•DE．

點評：本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．解題的關鍵是確定B、E、D、C四點共圓．