Question

如圖，凸四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE．給出下列五個關系式：①AD∥BC；②DE=EC；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．將其中的三個關系式作為已知條件、另外兩個關系式作為結論，可以構成一些命題（下面各小題的命題須符合此要求）．
（1）共計能夠成

10

個命題；
（2）寫出三個真命題：
①如果

③

、

④

、

⑤

，那么

①

、

②

；
②如果

②

、

④

、

⑤

，那么

①

、

③

；
③如果

②

、

③

、

⑤

，那么

①

、

④

．
請選擇上述三個命題中的一個寫出它是真命題的理由：
證明：我選擇證明命題

①

（填序號），理由如下：
（3）請寫出一個假命題（不必說明理由）：
如果

②

、

③

、

④

，那么

①

、

⑤

．

Answer 1

分析：（1）按照順序，選擇第一個關系式作為結論，再選擇一個關系式作為結論，其他關系式作為條件，依次寫出并列出表格即可得到命題的個數；
（2）根據平行線的判定與性質確定命題的真假，證明第一個命題，在AB上截取AF=AD，連接EF，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△AFE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠D=∠AFE，全等三角形對應邊相等可得DE=EF，再求出BF=BC，然后利用“邊角邊”證明△BCE和△BFE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠C=∠BFE，全等三角形對應邊相等可得CE=EF，根據∠AFE+∠BFE=180°求出∠C+∠D=180°，再利用同旁內角互補，兩直線平行證明；
（3）根據“邊邊角”不能證明三角形全等確定第四個命題是假命題．

解答：解：列表如下：

序號	條件			結論		命題真假
1	③∠1=∠2	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	①AD∥BC	②DE=EC	真
2	②DE=EC	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	①AD∥BC	③∠1=∠2	真
3	②DE=EC	③∠1=∠2	⑤AD+BC=AB	①AD∥BC	④∠3=∠4	真
4	②DE=EC	③∠1=∠2	④∠3=∠4	①AD∥BC	⑤AD+BC=AB	假
5	①AD∥BC	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	②DE=EC	③∠1=∠2	真
6	①AD∥BC	③∠1=∠2	⑤AD+BC=AB	②DE=EC	④∠3=∠4	真
7	①AD∥BC	③∠1=∠2	④∠3=∠4	②DE=EC	⑤AD+BC=AB	真
8	①AD∥BC	②DE=EC	⑤AD+BC=AB	③∠1=∠2	④∠3=∠4	真
9	①AD∥BC	②DE=EC	④∠3=∠4	③∠1=∠2	⑤AD+BC=AB	真
10	①AD∥BC	②DE=EC	③∠1=∠2	④∠3=∠4	⑤AD+BC=AB	真

根據表格容易知道本題答案應為：
（1）10；

（2）表中9個真命題選1，
理由如下：如圖，在AB上截取AF=AD，連接EF，
在△ADE和△AFE中，

AD=AF ∠1=∠2 AE=AE

，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∠D=∠AFE，DE=EF，
∵AD+BC=AB，
∴BC=BF，
在△BCE和△BFE中，

BC=BF ∠3=∠4 BE=BE

，
∴△BCE≌△BFE（SAS），
∴∠C=∠BFE，CE=EF，
∴DE=CE，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC；

（3）假命題是：“如果DE=EC、∠1=∠2、∠3=∠4，那么AD∥BC、AD+BC=AB．”

點評：本題考查了平行線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，確定命題時要按照一定的順序，做到不重不漏．