Question

【題目】將一塊直角三角板放置在銳角上，使得該三角板的兩條直角邊恰好分別經過點

（1）如圖①，若時，點在內，則 度，____度， 度；

（2）如圖②，改變直角三角板的位置，使點在內，請探究與之間存在怎樣的數量關系，并驗證你的結論；

（3）如圖③，改變直角三角板的位置，使點在外，且在邊的左側，直接寫出三者之間存在的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）135；90；45；（2）∠ABD+∠ACD=90°-∠A，證明見解析；（3）∠ACD-∠ABD=90°-∠A

【解析】

（1）在△BCD中，根據三角形內角和定理可得∠DBC+∠DCB =90°，在△ABC中，根據三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB=135°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數；

（2）根據三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠DBC+∠DCB=90°，

整理可得∠ABD+∠ACD=90°-∠A；

（3）根據三角形內角和定理可得∠ACD+∠A+∠AMC=180°，∠ABD+∠D+∠BMD=180°，整理可得∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

解：（1）在△ABC中，∵∠A=45°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°，

在△DBC中，∵∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，

∴∠ABD+∠ACD=135°-90°=45°；

故答案為：135；90；45．

（2）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數量關系為：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．證明如下：

在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．

在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．

∴∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-90°．

∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A．

（3）∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

如圖③，設AB交CD于點M，

∵∠ACD+∠A+∠AMC=180°，∠ABD+∠D+∠BMD=180°，∠AMC=∠BMD，

∴∠ACD-∠ABD=90°-∠A．