Question

【題目】設a，b是任意兩個不等實數，我們規定滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[a，b]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數閉區間[m，n]上的“閉函數”．如函數y＝﹣x+4．當x＝1時，y＝3；當x＝3時，y＝1，即當1≤x≤3時，有1≤y≤3，所以說函數y＝﹣x+4是閉區間[1，3]上的“閉函數”

（1）反比例函數是閉區間[1，2019]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由．

（2）若二次函數y＝x2﹣2x﹣k是閉區間[1，2]上的“閉函數”，求k的值；

（3）若一次函數y＝kx+b（k≠0）是閉區間[m，n]上的“閉函數”，求此函數的解析式（用含m，n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）k的值是﹣2；（3）y＝﹣x+m+n．

【解析】

（1）根據反比例函數的單調區間進行判斷；

（2）由于二次函數y=x2-2x-k的圖象開口向上，對稱軸為x=1，所以二次函數y=x2-2x-k在閉區間[1，2]內，y隨x的增大而增大．當x=1時，y=1，所以k=-2．當x=2時，y=2，所以k=-2．即圖象過點（1，1）和（2，2），所以當1≤x≤2時，有1≤y≤2，符合閉函數的定義，所以k=-2．

（3）根據新定義運算法則，分兩種情況：k＞0，k＜0，列出關于系數k、b的方程組，通過解該方程組即可求得系數k、b的值，即可解答．

解：（1）反比例函數是閉區間[1，2019]上的“閉函數”，

理由：∵當x＝1時，y＝2019，當x＝2019時，y＝1，

∴反比例函數是閉區間[1，2019]上的“閉函數”；

（2）∵二次函數y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k，

∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，

∵二次函數y＝x2﹣2x﹣k是閉區間[1，2]上的“閉函數”，

∴當x＝1時，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2，

即k的值是﹣2；

（3）∵一次函數y＝kx+b（k≠0）是閉區間[m，n]上的“閉函數”，

∴當k＞0時，，

得，

即此函數的解析式為y＝x；

當k＜0時，，

得，

即此函數的解析式為y＝﹣x+m+n．