Question

如圖，經過原點的拋物線y=-x²+bx（b＞2）與x軸的另一交點為A，過點P（1，）作直線PN⊥x軸于點N，交拋物線于點B．點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C．連結CB，CP．
（1）當b=4時，求點A的坐標及BC的長；
（2）連結CA，求b的適當的值，使得CA⊥CP；
（3）當b=6時，如圖2，將△CBP繞著點C按逆時針方向旋轉，得到△CB′P′，CP與拋物線對稱軸的交點為E，點M為線段B′P′（包含端點）上任意一點，請直接寫出線段EM長度的取值范圍．

Answer 1

（1）（4，0），2；（2）3；（3）4-≤EM≤3．

解析試題分析：（1）利用拋物線y=-x²+4x，求出點A的坐標及BC的長，
（2）過點C作CD⊥x軸于點D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．
（3）利用拋物線y=-x²+6x，求出BC，PC及EP的長，再分兩種情況①當BC在CP上時，且M點與B′點重合時線段EM最短，②當BC在PC延長線上時，且M點與P′點重合時線段EM最長，求出線段EM長度的取值范圍．
試題解析：（1）∵b=4，
∴拋物線y=-x²+4x，
在y=-x²+4中，
令y=0，得-x²+4x=0，
∴x₁=0，x₂=4
∴A（4，0）
令x=1，得y=3
∴B（1，3）
∵對稱軸x=-=2
∴C（3，3）
∴BC=2
（2）如圖1，過點C作CD⊥x軸于點D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，
∴∠BCP=∠DCA，
又∵∠CBP=∠CDA=90°
∴△CBP∽△CDA
∴
在y=-x²+bx中，
令x=1，則y=b-1
∴B（1，b-1）
又∵對稱軸x=-，
∴BC=2（-1）=b-2，
∴C（b-1，b-1），
∴CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-=-1，
∴，
∴b=3．
（3）∵b=6，
∴拋物線y=-x²+6x
在y=-x²+6x中，
令x=1，得y=5
∴B（1，5）
∵對稱軸x=
∴C（5，5）
∴BC=4，
∵P（1，），
∴P（1，3），
∴BP=5-3=2，
∴PC=
∵CP與拋物線對稱軸的交點為E，
∴EP=EC=PC=，
①如圖2，當BC在CP上時，且M點與B′點重合時線段EM最短，

∴EM=EP-（PC-BC）=-（2-4）=4-．
②如圖3，當BC在PC延長線上時，且M點與P′點重合時線段EM最長，

EM=EC+P′C=+2=3．
∴4-≤EM≤3．
考點：二次函數綜合題．