Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作EF∥AD交邊AB于點(diǎn)F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)E即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y．

（1）證明△AMF是等腰三角形；
（2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)（如圖（3）），求x的值；
（3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值．

Answer 1

（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關(guān)于EF對(duì)稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結(jié)論。
（2）
（3）

解析分析：（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關(guān)于EF對(duì)稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結(jié)論。
（2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可。
（3）分情況討論當(dāng)點(diǎn)G不在梯形外時(shí)和點(diǎn)G在梯形之外兩種情況求出x的值就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，在自變量的取值范圍內(nèi)就可以求出相應(yīng)的最大值，從而求出結(jié)論。
解：（1）證明：如圖（1），∵EF∥AD，∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF。
∵△GFE與△BFE關(guān)于EF對(duì)稱，∴△GFE≌△BFE。∴∠GFE=∠BFE。
∴∠A=∠AMF。∴△AMF是等腰三角形。
（2）如圖，作DQ⊥AB于點(diǎn)Q，

∴∠AQD=∠DQB=90°。∴AB∥DC。∴∠CDQ=90°。
又∵∠B=90°，∴四邊形CDQB是矩形。
∴CD=QB=2，QD=CB=6，∴AQ=10﹣2=8。
在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD=10。
∴tan∠A=。∴。
如圖3，∵EB=x，∴FB=x，CE=6﹣x。∴AF=MF=10﹣x。
∴GM=。∴GD=。∴DE=。
在Rt△CED中，由勾股定理得，解得：。
∴當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)。
（3）當(dāng)點(diǎn)G在梯形ABCD內(nèi)部或邊AD上時(shí)，。
當(dāng)點(diǎn)G在邊AD上時(shí)，易求得x=，
∴當(dāng)0＜x時(shí)，。
∴當(dāng)x=時(shí)，y最大值為。
當(dāng)點(diǎn)G在梯形ABCD外時(shí)，
∵△GMN∽△GFE，∴，即。
整理，得。
由（2）知，，∴當(dāng)時(shí)，。
∵，
當(dāng)x=5時(shí)，y最大值為。
∵＞，∴當(dāng)x=5時(shí)，y最大值為。
綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)為，y最大值為。