Question

（2013•宜昌模擬）拋物線y=ax²+bx+c中，b，c是非零常數(shù)，無(wú)論a為何值（0除外），其頂點(diǎn)M一定在直線y=kx+1上，這條直線和x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，A，且OA=OE．
（1）求k的值；
（2）求證：這條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A；
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的另一條直線y=mx+n和這條拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線和直線y=mx+n交于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線和這條拋物線交于點(diǎn)C，和直線y=kx+1交于點(diǎn)D，探索CD和BC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），則可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，0），代入直線解析式，可求出k的值．
（2）將頂點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線解析式，再由無(wú)論a為何值（0除外），其頂點(diǎn)M一定在直線y=kx+1上，可得出b、c的值，繼而可判斷這條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（3）根據(jù)拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，求出m的值，繼而得出B、C、D的坐標(biāo)，求出BC、CD的長(zhǎng)度，即可得出CD和BC的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）∵直線解析式為y=kx+b，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，b），
又∵OA=OE
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-b，0），
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線解析式可得：0=-kb+b，
解得：k=1；

（2）將頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

-b

2a

，

4ac-b2

4a

）代入y=x+1化簡(jiǎn)得：（4c-4）a=b²-2b，
∵無(wú)論a為和何值，等式都成立，所以4c-4=0，b²-2b=0，
∴c=1，b=2，
即拋物線解析式為y=ax²+2x+1，
將點(diǎn)A（0，1）代入拋物線解析式可得：1=1，
∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．

（3）由題意：方程mx+1=ax²+2x+1的△=0，
即（2-m）²=0，
解得：m=2，
故可得點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)分別是B（-

1

2a

，

a-1

a

），C（-

1

2a

，

4a-3

4a

），D（-

1

2a

，

2a-1

2a

），
則可得BC=CD=|

1

4a

|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解決綜合題的能力，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．