Question

（本題滿分8分）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點.過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B.延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E.
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠ABE=，求sinE的值.

Answer 1

（1）證明：連接OA
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°
∵OA＝OB，OP⊥AB于C
∴BC＝CA，PB＝PA
∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO＝∠PAO＝90°
∴PB為⊙O的切線
（2）解法1：連接AD，∵BD是直徑，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP
∴△ADE∽△POE
∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC  ∵tan∠ABE="1/2  " ∴OC/BC=1/2，設OC＝t,則BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t
∴EA/EP=AD/OP=2/5，可設EA＝2m,EP=5m,則PA=3m
∵PA=PB∴PB=3m
∴sinE=PB/EP=3/5
（2）解法2：連接AD，則∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC  ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,設OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，
∴PA＝PB＝2t 過A作AF⊥PB于F，則AF·PB=AB·PC
∴AF=t  進而由勾股定理得PF＝t
∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

略