Question

【題目】如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PD=，AC=8，求圖中陰影部分的面積；
（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，連接OC，

∵PA切⊙O于點A，∴∠PAO=90°，

∵BC∥OP，

∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，

∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，

∴∠AOP=∠COP，

在△PAO和△PCO中，

，

∴△PAO≌△PCO，

∴∠PCO=∠PAO=90°，

∴PC是⊙O的切線；

（2）

解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，

∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，

∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，

∴∠PAD=∠AOD，

∴△ADP∽△ODA，

∴，

∴AD2=PDDO，

∵AC=8，PD=，

∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，

由題意知OD為△的中位線，

∴BC=6，OD=6，AB=10．

∴S陰=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；

（3）

解：如圖2，

連接AE、BE，作BM⊥CE于M，

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，

∵點E是的中點，

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，

CM=MB=3，

BE=ABcos45°=5，

∴EM==4，

則CE=CM+EM=7．

【解析】（1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結論；
（2）證明△ADP∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，根據S陰=S⊙O﹣S△ABC求出答案；
（3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．
此題考查了圓的綜合應用，涉及知識點有全等三角形的判定及性質，相似三角形的性質，割補法求陰影部分面積，勾股定理的應用.