Question

在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，0）、（0，3），點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，將?ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)落在y軸的正半軸的點(diǎn)P處，頂點(diǎn)D、A的對應(yīng)點(diǎn)分別為Q、T．
（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）求直線PQ的函數(shù)解析式；
（3）將?PQTB沿y軸向上平移，得到?P′Q′T′B′，設(shè)BB′=m（0＜m≤3）．?P′Q′T′B′與?ABCD重疊部分面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先求出AB的長度，從而可得出CD，再由點(diǎn)D的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)易求出，關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可過Q作QH⊥y軸于H，那么可在直角三角形PQH中，根據(jù)PQ的長和∠QPB的三角函數(shù)值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的長，即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式．
（3）當(dāng)0＜m≤3，B'在線段BD上，此時(shí)重合部分是個(gè)五邊形．設(shè)TB'與x軸的交點(diǎn)為M，AD與Q'T的交點(diǎn)為F，那么重合部分的面積可用梯形EFDB的面積-三角形EBB'的面積來求得．
梯形的上底可用AE的長和∠DAB的正切值求出（AE的長為A點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對值與Q點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的長，由此可求出S、m的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵（-4，0）、（0，0）、（0，3），四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)C在第一象限，
∴AB=4，AB=CD且AB∥CD，
故可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）．

（2）∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，3），
∴BC=5，
顯然，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB．
過Q點(diǎn)作QH⊥BD，垂足為H，

在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×

3

5

=

12

5

，PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×

4

5

=

16

5

．
故可得：BH=PB-PH=5-

16

5

=

9

5

，
從而可得Q（-

12

5

，

9

5

），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，則

- 12 5 k+b= 9 5 b=5

解得

k= 4 3 b=5

，
故直線PQ的解析式為y=

4

3

x+5．

（3）設(shè)B′T′與AB交于點(diǎn)M，Q′T′交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，
∵0＜m≤3，
∴S=S_梯形BDFE-S_△BB′M，
由（2）可知，BE=QH=

12

5

，
∴AE=AB-BE=4-

12

5

=

8

5

，
∴EF=AE•tan∠DAB=

8

5

×

3

4

=

6

5

，
∴S_梯形BDFE=

1

2

（EF+BD）•BE=

1

2

×（

6

5

+3）×

12

5

=

126

25

，
又∵ET′∥BB′，
∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．
∴BM=BB′•tan∠MB'B=m•tan∠DAB=

3

4

m，
∴S_△BB'M=

1

2

BM•BB′=

1

2

×

3

4

m×m=

3

8

m²，
∴S=

126

25

-

3

8

m²（0＜m≤3）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、圖形面積的求法以待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，第二問的難點(diǎn)在于求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，第三問關(guān)鍵是求出梯形EFDB的面積和△EBB'的面積，難度較大．