Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與一直線相交于A(－1，0)，C(2，3)兩點，與y軸交于點N，其頂點為D.

(1)求拋物線及直線AC的函數關系式；

(2)設點M(3，m)，求使MN＋MD的值最小時m的值；

(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3；直線AC的解析式為y＝x＋1；（2）；（3）E（0，1）或或.

【解析】

（1）將點A、C的坐標代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式，利用待定系數法可求出AC的函數解析式；

（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，找到N點關于直線x=3的對稱點N′，連接N'D，N'D與直線x=3的交點即是點M的位置，繼而求出m的值．

（3）設出點E的坐標，分情況討論，①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，根據平行四邊形的性質表示出F的坐標，將點F的坐標代入拋物線解析式可得出x的值，繼而求出點E的坐標．

（1）由拋物線y=-x2+bx+c過點A（-1，0）及C（2，3），可得：

，

解得：，

故拋物線為y=-x2+2x+3，

設直線AC解析式為y=kx+n，將點A（-1，0）、C（2，3）代入得：

，

解得：，

故直線AC為y=x+1．

（2）作N點關于直線x=3的對稱點N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），

可求出直線DN′的函數關系式為，

當M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，

則．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）

點E在直線AC上，設E（x，x+1），

①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3），

∵F在拋物線上，

∴x+3=-x2+2x+3

解得，x=0或x=1（舍去），

則點E的坐標為：（0，1）．

②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），

∵點F在拋物線上，

∴x-1=-x2+2x+3，

解得x=或x=，

所以，y=或y=

即點E的坐標為：（，）或（，）

綜上可得滿足條件的點E為E（0，1）或（，）或（，）．