Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB= ，AA1=2，D為AA1的中點，BD與AB1交于點O，CO⊥側面ABB1A1 ．
（1）證明：CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD= = ，

在Rt△ABB1中，tan∠AB1B= = ．

又因為0＜∠ABD，∠AB1B ，所以∠ABD=∠AB1B，

所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，

所以AB1⊥BD．

又CO⊥側面ABB1A1，且AB1側面ABB1A1，∴AB1⊥CO．又BD與CO交于點O，所以AB1⊥平面CBD．

又因為BC平面CBD，所以BC⊥AB1．

（2）解：如圖所示，以O為原點，分別以OD，OB1，OC所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），

B1（0， ，0），D（ ，0，0）．

又因為 =2 ，所以C1（ ， ， ）．

所以 =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）， =（ ， ， ）．

設平面ABC的法向量為 =（x，y，z），

則由 ，得

令y= ，則z=﹣ ，x=1， =（1， ，﹣ ）是平面ABC的一個法向量．

設直線C1D與平面ABC所成的角為α，

則sin α= = ．

故直線C1D與平面ABC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）推導出∠ABD=∠AB1B，從而∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，進而AB1⊥BD．由線面垂直得AB1⊥CO．從而AB1⊥平面CBD．由此能證明BC⊥AB1 ． （2）以O為原點，分別以OD，OB1 ， OC所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．