Question

【題目】按要求作圖
（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形．（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的內角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求∠ABC與∠C之間的關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（共有2種不同的分割法）．

（2）

解：設∠ABC=y，∠C=x，過點B的直線交邊AC于D．在△DBC中， ①若∠C是頂角，如圖1，

則∠CBD=∠CDB=90°﹣ x，∠A=180°﹣x﹣y．
而∠ADB＞90°，此時只能有∠A=∠ABD，即180°﹣x﹣y=y﹣（90°﹣ x）
即3x+4y=540°，即∠ABC=135°﹣ ∠C；
②若∠C是底角，
第一種情況：如圖2，

當DB=DC時，則∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y﹣x．
由AB=AD，得2x=y﹣x，此時有y=3x，即∠ABC=3∠C．
由AB=BD，得180°﹣x﹣y=2x，此時3x+y=180°，即∠ABC=180°﹣3∠C．
由AD=BD，得180°﹣x﹣y=y﹣x，此時y=90°，即∠ABC=90°，∠C為小于45°的任意銳角．
第二種情況，如圖3，

當BD=BC時，∠BDC=x，∠ADB=180°﹣x＞90°，此時只能有AD=BD，
從而∠A=∠ABD= ∠C＜∠C，這與題設∠C是最小角矛盾．
∴當∠C是底角時，BD=BC不成立．
綜上，∠ABC與∠C之間的關系是：∠ABC=135°﹣ ∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角

【解析】（1）已知角度，要分割成兩個等腰三角形，可以運用直角三角形、等腰三角形性質結合三角形內角和定理，先計算出可能的角度，或者先從草圖中確認可能的情況，及角度，然后畫上．（2）在（1）的基礎上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關系．