Question

【題目】我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．

（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有　 　．

（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD

①證明：四邊形ABCD是“十字形”；

②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四邊形ABCD的面積．

（3）如圖2．A、B、C、D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交于點E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．滿足AC+BD＝3，求線段OE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）菱形、正方形；（2）①證明見解析；②見解析（3）≤OE≤．

【解析】

（1）利用“十字形”的定義判斷即可；

（2）①連接AC和BD，運用垂直平分線的判定即可；

②先判斷出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，進而判斷出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判斷出四邊形OMEN是矩形，進而得出OE2=2-（AC2+BD2），設AC=m，列出二次函數分析即可．

（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有菱形、正方形的對角線互相垂直，

故答案為：菱形、正方形；

（2）①如圖1，連接AC，BD

∵AB＝AD，且CB＝CD

∴AC是BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是“十字形”；

②如圖2

∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CDB＝∠CAB，

∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，

∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝90°，

∴AC⊥BD，

過點O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，連接OA，OD，

∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，四邊形OMEN是矩形，

∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，

∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）

設AC＝m，則BD＝3﹣m，

∵⊙O的半徑為1，AC+BD＝3，

∴1≤m≤2，

OE2＝，

∴≤OE2≤，

∴≤OE≤.