Question

閱讀理解：對于二次三項式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解為（x+a）²的形式，但對于二次三項式x²+2ax-3a²，就不能直接用公式法了，我們可以在二次三項式x²+2ax-3a²中先加上一項a²，使其成為完全平方式，再減去a²這項，使整個式子的值不變．于是有x²+2ax-3a²=x²+2ax-3a²+a²-a²
=x²+2ax+a²-a²-3a²=（x+a）²-（2a）²=（x+3a）（x-a）．
像上面這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．
（1）請用上述方法求出x²-4xy+3y²=0（滿足xy≠0，且x≠y）中y與x的關系式．
（2）利用上述關系式求

x

y

-

y

x

-

x2+y2

xy

的值．

Answer 1

分析：（1）根據題中的閱讀材料，將所求方程左邊3y²變形為4y²-y²，前三項利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，整理后根據x與y不相等，得到x-y不等于0，可得出y與x的關系式；
（2）將第一問求出的y與x的關系式代入所求式子中，消去y計算后即可得到值．

解答：解：（1）x²-4xy+3y²=0，
變形得：x²-4xy+4y²-y²=0，
即（x-2y）²-y²=（x-2y+y）（x-2y-y）=（x-y）（x-3y）=0，
∵x≠y，即x-y≠0，
∴x-3y=0，
則x=3y；
（2）∵x=3y，
∴

x

y

-

y

x

-

x2+y2

xy

=

3y

y

-

y

3y

-

(3y)2+y2

3y•y

=3-

1

3

-

10

3

=-

2

3

．

點評：此題考查了因式分解的應用，涉及的知識有：完全平方公式，平方差公式，利用了代入消元的數學思想，認真閱讀題中的材料，得出有用的信息，靈活運用添（拆）項法是解本題的關鍵．