Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O外一點，AB＝AD，BD交⊙O于點C，AD交⊙O于點E，點P是AC的延長線上一點，連接PB、PD，且PD⊥AD

(1)判斷PB與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)連接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)PB與⊙O相切，理由見解析；(2)⊙O的半徑為4.5．

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質可得PB=PD，通過證明△ABP與△ADP全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ABP=∠ADP=90°，再根據切線的判定定理即可得證；

（2）根據全等三角形的性質得∠BAC=∠DAC，得到BC=CE=3，然后證明△DCE與△DAB相似，然后根據相似三角形的對應邊成比可推導得出DCDB＝DEDA，代入相關數據即可求得答案.

(1)PB與⊙O相切，理由如下：

∵AB是⊙O的直徑，

∴AC⊥BD，

又AB＝AD，

∴AP是線段BD的垂直平分線，

∴PB＝PD，

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP(SSS)，

∴∠ABP＝∠ADP＝90°，

∴PB與⊙O相切；

(2)∵△ABP≌△ADP，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴，

∴BC＝CE＝3，

∵AB＝AD，AC⊥BD，

∴BC＝CD＝3，

∵四邊形ABCE是⊙O的內接四邊形，

∴∠DBA+∠CEA=180°，

∵∠DEC+∠CEA=180°，

∴∠DBA=∠DEC，

又∵∠CDE=∠ADB，

∴△DCE∽△DAB，

∴DC：DA=DE：DB，

∴DCDB＝DEDA，即3×6＝DE×(DE+7)，

解得，DE＝2，

∴DA＝2+7＝9，

∴AB＝AD＝9，

∴⊙O的半徑為4.5．