Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且．

求經(jīng)過，，三點(diǎn)的拋物線的解析式．

在中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使的周長最小？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得，，，構(gòu)成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為;（2）存在,點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（3）存在,點(diǎn)M的坐標(biāo)為:、.

【解析】

試題分析: （1）先確定出點(diǎn)B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可；

（2）先判斷出使△BOC的周長最小的點(diǎn)C的位置，再求解即可；

（3）分OA為對角線和為邊兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算．

試題解析:

（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，

在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°

∴OD=1，DB=

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，）．

設(shè)所求拋物線的解析式為，

由已知可得：，

解得：

∴所求拋物線解析式為.

（2）存在，

∵

又∵OB=2

∴要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，

∵點(diǎn)O和點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱

∴連接AB與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C

且有OC=OA

此時(shí)；

點(diǎn)C為直線AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)

設(shè)直線AB的解析式為，

將點(diǎn)分別代入，得：

，

解得：，

∴直線AB的解析式為，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=，

∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

（3）①當(dāng)以O(shè)A為對角線時(shí)

OA與MN互相垂直且平分

∴點(diǎn)M

②當(dāng)以O(shè)A為邊時(shí)

OA=MN且OA//MN

即MN=2,MN//x軸

設(shè)N（-1，t）

則M（-3，t）或（1，t）

綜上：點(diǎn)M的坐標(biāo)為：、