Question

【題目】如圖①，直線y＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以A為頂點的拋物線經過點B，點P是拋物線上一點，連接OP，AP．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△AOP的面積是3，求P點坐標；

（3）如圖②，動點M，N同時從點O出發，點M以1個單位長度/秒的速度沿x軸正半軸方向勻速運動，點N以個單位長度/秒的速度沿y軸正半軸方向勻速運動，當其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動，過點N作NE∥x軸交直線AB于點E．若設運動時間為t秒，是否存在某一時刻，使四邊形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x+2；（2）點P的坐標為：（2+，3）或（2﹣，3）；（3）存在t＝，理由見解析．

【解析】

（1）求出點A、B的坐標；因為拋物線的頂點為點A，所以設拋物線的表達式為：y=a（x-2）2，將點B的坐標代入上式，即可求解；
（2）△AOP的面積=×OA×yP=×2×yP=3，解得：yP=3，即可求解；
（3）t秒時，點M、N的坐標分別為：（t，0）、（0，t），則點E（2-t，t），而點N（0，t），故NE=2-t，當四邊形AMNE是菱形時，NE=MN，即可求解．

（1）y＝﹣x+2，令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝2，

故點A、B的坐標分別為：（2，0）、（0，2），

∵拋物線的頂點為點A（2，0），

∴設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣2）2，

將點B的坐標代入上式得：2＝a（0﹣2）2，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2；

（2）∵點A（2，0），則OA＝2，

∴△AOP的面積＝×OA×yP＝2×yP＝3，

解得：yP＝3，

則yP＝3＝（x﹣2）2，解得：x＝2，

故點P的坐標為：（2+，3）或（2﹣，3）；

（3）存在，理由：

由題意得：t秒時，點M、N的坐標分別為：（t，0）、（0，t），

當y＝t時，y＝t＝﹣x+2，解得：x＝2﹣t，故點E（2﹣t，t），

而點N（0，t），故NE＝2﹣t，

當四邊形AMNE是菱形時，NE＝MN，

即t2+（t）2＝（2﹣t）2，

解得：t＝或﹣2（舍去﹣2），

故t＝．