Question

【題目】如圖，△ABC的中線BD，CE交于點O，F，G分別是BO，CO的中點．

（1）填空：四邊形DEFG是　 四邊形．

（2）若四邊形DEFG是矩形，求證：AB＝AC．

（3）若四邊形DEFG是邊長為2的正方形，試求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）平行；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據三角形中位線定理得出DE∥BC，DE=BC，FG∥BC，FG=BC，那么DE∥FG，DE=FG，利用有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）先由矩形的性質得出OD=OE=OF=OG．再根據重心的性質得到OB=2OD，OC=2OE，等量代換得出OB=OC．利用SAS證明△BOE≌△COD，得出BE=CD，然后根據中點的定義即可證明AB=AC；
（3）連接AO并延長交BC于點M，先由三角形中線的性質得出M為BC的中點，由（2）得出AB=AC，根據等腰三角形三線合一的性質得出AM⊥BC，再由三角形中位線定理及三角形重心的性質得出BC=2FG=4，AM=AO=6，由勾股定理求出AB=2，進而得到△ABC的周長．

（1）解：∵△ABC的中線BD，CE交于點O，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵F，G分別是BO，CO的中點，
∴FG∥BC，FG=BC，
∴DE∥FG，DE=FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
故答案為平行；

（2）證明：∵四邊形DEFG是矩形，
∴OD=OE=OF=OG．
∵△ABC的中線BD，CE交于點O，
∴點O是△ABC的重心，
∴OB=2OD，OC=2OE，
∴OB=OC．
在△BOE與△COD中，

，
∴△BOE≌△COD（SAS），
∴BE=CD，
∵E、D分別是AB、AC中點，
∴AB=AC；

（3）解：連接AO并延長交BC于點M．
∵三角形的三條中線相交于同一點，△ABC的中線BD、CE交于點O，
∴M為BC的中點，
∵四邊形DEFG是正方形，
由（2）可知，AB=AC，
∴AM⊥BC．
∵正方形DEFG邊長為2，F，G分別是BO，CO的中點，
∴BC=2FG=4，BM=MC=BC=2，AO=2EF=4，
∴AM=AO=6，
∴AB===2，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=4+4．