Question

【題目】如圖，，為的中點，點為射線上（不與點重合）的任意一點，連接，并使的延長線交射線于點，設．

（1）求證：；

（2）當時，求的度數；

（3）若的三邊垂直平分線的交點在該三角形的內部，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）50°；（3）40°＜α＜90°

【解析】

（1）根據ASA證明：△APM≌△BPN；

（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等邊對等角可得結論；

（3）直角三角形的三邊垂直平分線的交點是斜邊上的中點，鈍角三角形的三邊垂直平分線的交點在三角形的外部，只有銳角三角形的三邊垂直平分線的交點在三角形的內部，所以根據題中的要求可知：△BPN是銳角三角形，由三角形的內角和可得結論．

（1）證明：∵P是AB的中點，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

∵，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵MN=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

（3）解：∵的三邊垂直平分線的交點在該三角形的內部，

∴△BPN是銳角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．