Question

(9分)如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角頂點P在對角線AC上移動，直角邊PQ經過點D，另一直角邊與射線BC交于點E.
⑴試判斷PE與PD的大小關系，并證明你的結論；
⑵連接PB，試證明：△PBE為等腰三角形；
⑶設AP＝x，△PBE的面積為y，
①求出y關于x 函數關系式；
②當點P落在AC的何處時，△PBE的面積最大，此時最大值是多少？

Answer 1

證明：（1） 過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F. 如圖所示.

∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴ 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形………1分 
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°∴∠1=∠2………2分 
又PF=GD，∠PFE =∠PGD=90°
∴ Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA）.           
∴ PE=PD………3分                         
（2）∵AD=AB ∠PAB=∠PAD=45° AP=AP
∴△APB≌△APD （SAS）………4分   
∴PB=PD
∴PE=PB
∴△PBE為等腰三角形 ………6分   
（3）①∵AP=x
∴,………7分        
∴. 
即()………8分   
②.
∵，
∴當時,………9分     

略