Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的關系解析式；

（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點P，使△PAC的面積最大；（3）存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形．Q點坐標為：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．

【解析】

（1）直接把點A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函數y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出拋物線的解析式；

（2）設點P坐標為（m，n），則n＝﹣m2﹣m+2，連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．根據三角形的面積公式得出△PAC的表達式，再根據二次函數求最大值的方法得出其頂點坐標即可；

（3）以BC為邊，在線段BC兩側分別作正方形，正方形的其他四個頂點均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”，因此有四個點符合題意要求，再過Q1點作Q1D⊥y軸于點D，過點Q2作Q2E⊥x軸于點E，根據全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各點坐標．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2過點A（﹣3，0），B（1，0），

∴

∴二次函數的關系解析式為y＝﹣x2﹣x+2；

（2）存在．

∵如圖1所示，設點P坐標為（m，n），則n＝﹣m2﹣m+2．

連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．

則PM＝﹣m2﹣m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．

∵當x＝0時，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，

∴OC＝2，

∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO

＝AOPM+COPN﹣AOCO

＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2

＝﹣m2﹣3m

∵a＝﹣1＜0

∴函數S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值

∴當m＝﹣＝﹣時，S△PAC有最大值．

∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，

∴存在點P（﹣，），使△PAC的面積最大．

（3）如圖2所示，以BC為邊在兩側作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，則點Q1，Q2，Q3，Q4為符合題意要求的點．過Q1點作Q1D⊥y軸于點D，過點Q2作Q2E⊥x軸于點E，

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

在△Q1CD與△CBO中，

∵，

∴△Q1CD≌△CBO，

∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，

∴OD＝OC+CD＝3，

∴Q1（2，3）；

同理可得Q4（﹣2，1）；

同理可證△CBO≌△BQ2E，

∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，

∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，

∴Q2（3，1），

同理，Q3（﹣1，﹣1），

∴存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形．Q點坐標為：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．