Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．給出以下結論：①DG=DF；②四邊形EFDG是菱形；③EG2= GF×AF；④當AG=6，EG=2 時，BE的長為 ，其中正確的結論個數是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性質可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．故①正確；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四邊形EFDG為菱形，故②正確；
如圖1所示：連接DE，交AF于點O．

∵四邊形EFDG為菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF= GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴ = ，即DF2=FOAF．
∵FO= GF，DF=EG，
∴EG2= GFAF．故③正確；
如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．

∵EG2= GFAF，AG=6，EG=2 ，
∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．
解得：FG=4，F(xiàn)G=﹣10（舍去）．
∵DF=GE=2 ，AF=10，
∴AD= =4 ．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴ = ，即 = ，
∴GH= ，
∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = ．故④正確．
故選D．
先依據翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF，連接DE，交AF于點O．由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系，過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據BE=AD﹣GH求解即可．