Question

【題目】已知：如圖①，在等腰直角中，斜邊．

（1）請你在圖①的邊上求作一點，使得；

（2）如圖②，在（1）問的條件下，將邊沿方向平移，使得點、、對應點分別為、、，連接，．若平移的距離為1，求的大小及此時四邊形的面積；

（3）將邊沿方向平移個單位至，是否存在這樣的，使得在直線上有一點，滿足，且此時四邊形的面積最大？若存在，求出四邊形面積的最大值及平移距離的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），；（3）存在，當時，四邊形面積最大值為

【解析】

（1）利用等腰三角形“三線合一”的性質，取AC中點為點P即可．

（2）延長AP、CD相交于點M，取AB的中點F，連接PF．證明△APE≌△MPD，得到AP=MP，從而可得PF是△ABM的中位線．進而得到PF是AB的垂直平分線，這樣可以得出∠APB=2∠M=2∠EAP．由AE=PE可得∠M=∠MPD=∠EPA=∠EAP，所以可得∠PDB=2∠M，由AC∥ED可得∠PDB=∠ACB=45°，所以∠APB=45°．

（3）如圖，以AB為邊長，在直線AB的右側作等邊三角形ABO，在以O為圓心、OA長為半徑作⊙O．過點O作OM⊥AC，交⊙O于點M，點M在AC的右上方．過點M作AC的平行線DE，AE∥BC，BC的延長線交DE于點D．則此時滿足∠AMB=30°，此時四邊形ABDE的面積最大．

解：(1)利用等腰三角形的“三線合一”性質，取AC的中點P，連接BP即可，如下圖所示：

(2)如下圖所示：

延長AQ、CD相交于點M，取AB的中點F，連接PF．

由平移的性質可得，DE=AC=2，AE=CD=1，AC∥DE，AE∥CD

設∠EAQ=x

∵點Q是DE的中點∴QE=QD=DE=1

∴QE=AE

∴∠AQE=∠EAQ=x，∴∠MQD=∠AQE=x

∵AE∥CD ∴∠M=∠EAQ=x

在△AQE和△MQD中

，∴△AQE≌△MQD(AAS)

∴AQ=MQ

∵點F是AB的中點

∴QF是△ABM的中位線

∵由題知，∠ABC=90°

∴∠AFQ=90°

∴PF⊥AB，點F是AB的中點

∴BQ=AQ=MQ

∴∠QBM=∠M=x

∴∠AQB=∠QBM+∠M=2x

由題知∠ACB=45°且AC∥DE

∴∠QDB=∠ACB=45°

∵∠QDB=∠MQD+∠M=2x

∴2x=45°即∠AQB=45°

在等腰直角△ABC中，斜邊AC=2，則AB=BC=

∴BD=BC+CD=

∴四邊形ABDE的面積為：

故答案為：，.

(3) 存在．

如下圖，以AB為邊長，在直線AB的右側作等邊三角形ABO，在以O為圓心、OA長為半徑作⊙O．過點O作OM⊥MD，交⊙O于點M，點M在AC的右上方．

過點M作AC的平行線DE，AE∥BC，BC的延長線交DE于點D，AE交⊙O于點H．

則此時滿足∠AMB=30°，此時四邊形ABDE的面積最大．

作OF⊥AE于F，OM與AE相交于點N．

∵AE∥CD，DE∥AC

∴四邊形ACDE是平行四邊形

∴AE=CD，DE=AC=2

∴∠EDC=∠ACB=45°

∴∠AEM=∠EDC=45°

∵OM⊥AC

∴OM⊥DE

∴∠NME=90°

∴NE=MN，∠MNH=45°

由（2）知，AB=BC=

∴⊙O的半徑是.

連接BH，∵AE∥BC，∠ABC=90°

∴∠BAH=180°-∠ABC=90°

∵∠AMB=30°，

∴∠AHB=∠AMB=30°

∴

∵OF⊥AH，點O是圓心

∴

根據勾股定理得

∵∠FNO=∠MNH=45°

∴

∴

∴

∴

∴

故答案為：當時，四邊形面積最大值為.