Question

【題目】長方形中，，點和點都是從點出發，點在這個長方形的邊上順時針運動，點在這個長方形的邊上逆時針運動，它們的速度都是每秒1個單位，設它們的運動時間是秒

（1）時，求線段的長；

（2）在運動過程中，連接，設線段和點所經過的路線所組成的封閉的圖形面積是，求出與的函數關系式，并注明的取值范圍．

（3）在上一問中，是否存在某個時刻，使得是長方形面積的一半？若存在，求出；若不存在，請說明理由．

（4）當點在上運動時（不包括點），存不存在某一時刻，使得是直角三角形嗎？若存在，求出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，；（3）存在，；（4）存在，

【解析】

（1）求出AM，AN，利用勾股定理求解即可．

（2）分兩種情形：當0＜t≤4時，當4＜t＜10時，分別求解即可．

（3）根據方程解決問題即可．

（4）觀察圖象可知，∠MAN，∠ANM不可能是直角．當∠AMN=90°時，根據AN2=AM2+MN2，構建方程即可解決問題．

解：（1）當t=3時，AM=3，AN=3，

在Rt△ANM中，∵∠MAN=90°，

∴；

（2）當0＜t≤4時，．

當4＜t＜10時，

；

∴

（3）①若點在段，即，

∴，

即，

解得：（舍去）；

②若點在線段，即．

，

即，

解得：；

（4）當點在上運動時，∠MAN，∠ANM不可能是直角．

當時，如圖：過M作MG⊥AN，

∴

由題意知，，，

∴，，，

，

；

∴滿足條件的t的值為8．