Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0，4)，點B的坐標為(4，4)，點C的坐標為(4，0)，點D是x軸上(在點O右側)任意一點，以AD為邊向右側作正方形ADEF，連接BF，設點D的坐標為(t，0)處.

(1)求證：△AOD≌△ABF；

(2)求點E的坐標(用含有t的代數式來表示)；

(3)當△DBE是等腰三角形時，請直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) E(4+t,t) (3) 2,4,8.

【解析】

（1）由四邊形ABCO和ADFE是正方形，得∠AOD=∠ABF=90°，AO=AB=4，AD=AF，即可利用HL證明△AOD≌△ABF；

（2）過點E作EH⊥x軸于點H，然后證明△AOD≌△DHE，得到DH=OA=4，OD=EH=t，即可得到點E的坐標；

（3）由（2）知點D為（t，0），點B為（4，4），點E為（4+t，t），利用勾股定理求出BD、BE、DE的長度，由△DBE是等腰三角形時，可分為三種情況進行討論，即當BD=DE，BD=BE，DE=BE時，求出t的值即可.

（1）證明：根據題意，OA=OC=AB=BC=4，∠AOC=90°，

∴四邊形ABCO是正方形，

∴∠AOC=∠ABF=90°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，

∴△AOD≌△ABF（HL）；

（2）解：如圖：過點E作EH⊥x軸于點H，

∵∠AOD=∠ADE=90°，

∴∠OAD+∠ADO=∠EDH+∠ADO=90°，

∴∠OAD=∠EDH，

∵AD=DE，∠AOD=∠DHE=90°，

∴△AOD≌△DHE（AAS），

∴AO=DH=4，OD=EH=t，

∴OH=4+t，

∴點E的坐標為：（4+t，t）；

（3）由（2）可知，點D為（t，0），點B為（4，4），點E為（4+t，t），

∴，，，

∵△DBE是等腰三角形，

當BD=DE時，有

，

解得：；

當BD=BE時，有

，

解得：或（舍去）；

當DE=BE時，有

，

解得：或（舍去）；

∴當，4或8時，△DBE是等腰三角形.