Question

【題目】如圖，已知a∥b，長方形ABCD的點A在直線a上，B，C，D三點在平面上移動變化（長方形形狀大小始終保持不變），請根據如下條件解答：

（1）圖1，若點B、D在直線b上，點C在直線b的下方，∠2=30°，則∠1=　　；

（2）圖2，若點D在直線a的上方，點C在平行直線a，b內，點B在直線b的下方，m，n表示角的度數，請寫出m與n的數量關系并說明理由；

（3）圖3，若點D在平行直線a，b內，點B，C在直線b的下方，x，y表示角的度數（x＞y），且滿足關系式x2﹣2xy+y2=100，求x的度數．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）90°；（3）50°

【解析】（1）首先根據角的和差關系計算出∠ADB的度數，再根據平行線的性質可得∠1的度數；（2）過C作EF∥a,根據a∥b可得EF∥a∥b, 再根據平行線的性質可得∠4+m=∠BCD，n=∠4，利用等量代換可得答案；（3）過D作c∥b,根據條件可得x-y=10,再根據平行線的性質可得x+y=90，兩個方程組合可得答案．

解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，

∴∠ADC=90°，

∵∠2=30°，

∴∠ADB=60°，

∵a∥b，

∴∠1=∠ADB=60°，

故答案為：60°；

（2）如圖2，過C作EF∥a，

∵AB∥CD，

∴n=∠4，

∵a∥b，

∴EF∥a∥b，

∴∠4+m=∠BCD=90°，

∴m+n=90°；

（3）如圖3，過D作c∥b，

∵a∥b，

∴a∥b∥c，

∵x2﹣2xy+y2=100，

∴（x﹣y）2=100，

∵x＞y，

∴x﹣y=﹣10（舍去），

∴x﹣y=10，①

∵a∥b，

∴a∥b∥c，

∵∠ADC=90°，

∴x+y=90，②

①+②得：x=50°．

“點睛”此題考查了四邊形綜合，以及平行線的性質和判定，關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等．