Question

【題目】如圖，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO并延長(zhǎng)，與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CD于點(diǎn)N，連接AC、CM．

（1）求證：CM2=MN.MA；

（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CM=2.

【解析】

（1）由知，根∠CMA=∠NMC據(jù)證ΔAMC∽ΔCMN 即可得；

（2）連接OA、DM，由直角三角形PAO中∠P=30°知，據(jù)此求得OA=OC=2，再證三角形CMD是等腰直角三角形得CM的長(zhǎng)．

（1）中，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，

，

，

又，

，

，即；

（2）連接、，

是的切線，

，

又，

，

設(shè)的半徑為，

，

，

解得：，

又是直徑，

，

，

是等腰直角三角形，

在中，由勾股定理得，即，

則，

．