Question

【題目】如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延長CA至點E，使AE=AC；延長CB至點F，使BF=BC．連接AD，AF，DF，EF．延長DB交EF于點N．

（1）求證：AD=AF；

（2）求證：BD=EF；

（3）試判斷四邊形ABNE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）四邊形ABNE是正方形．

【解析】

試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，證出BF=CD，由SAS證明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；

（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，證出∠EAF=∠BAD，由SAS證明△AEF≌△ABD，得出對應邊相等即可；

（3）由全等三角形的性質得出得出∠AEF=∠ABD=90°，證出四邊形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四邊形ABNE是正方形．

試題解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，在△ABF和△ACD中，∵AB=AC，∠ABF=∠ACD，BF=CD，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AD=AF；

（2）由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB=∠DAC，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD，在△AEF和△ABD中，∵AE=AB，∠EAF=∠BAD，AF=AD，∴△AEF≌△ABD（SAS），∴BD=EF；

（3）四邊形ABNE是正方形；理由如下：

∵CD=CB，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四邊形ABNE是矩形，又∵AE=AB，∴四邊形ABNE是正方形．