Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓上一動點，過點C作⊙O的切線l，過點B作BD⊥l，垂足為D，BD與⊙O交于點E，連接OC，CE，AE，AE交OC于點F．

（1）求證：△CDE≌△EFC；

（2）若AB＝4，連接AC．

①當AC＝_____時，四邊形OBEC為菱形；

②當AC＝_____時，四邊形EDCF為正方形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①當AC＝2時，四邊形OCEB是菱形時2；②當四邊形DEFC是正方形時，2．

【解析】

(1)由AB是直徑可得∠AEB=90°，由切線性質可得∠FCD=90°，由BD⊥CD可得∠CDE=90°，即可證明四邊形CFED是矩形，可得CF＝DE，EF＝CD，利用SSS即可證明△CDE≌△EFC；（2）①連接OE，由菱形性質可得OB=BE，即可證明△OBE是等邊三角形，可得∠B=60°，由OC//BD可得∠AOC=∠B=60°，可證明△OAC是等邊三角形，即可求出AC=AB=2；②由正方形的性質可得∠CEF＝∠FCE＝45°，由垂徑定理可知，即可得出AC=CE，進而可得∠CAE＝∠CEA＝45°，即可證明∠ACE=90°，可得AE是⊙O的直徑，即點E與點B重合，點F與點O重合，可得△ABC是等腰直角三角形，即可求出AC的長.

（1）∵BD⊥CD，

∴∠CDE＝90°，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°，

∵CD是切線，

∴∠FCD＝90°，

∴四邊形CFED矩形，

∴CF＝DE，EF＝CD，

在△CDE和△EFC中，

，

∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①當AC＝2時，四邊形OBEC是菱形．

理由：連接OE．

∵四邊形OBEC是菱形，

∴OB=BE，

∵OE=OB，

∴△OBE是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∵OC//BD，

∴∠AOC=∠B=60°，

∵OA=OC，

∴△OAC是等邊三角形，

∴AC=OA=AB=2.

∴AC＝2時，四邊形OBEC是菱形．

故答案為2．

②當四邊形EDCF是正方形時，

∵CF＝FE，

∵∠CEF＝∠FCE＝45°，

∵OC⊥AE，

∴，

∴AC=CE，

∴∠CAE＝∠CEA＝45°，

∴∠ACE＝90°，

∴AE是⊙O的直徑，即點E與點B重合，點F與點O重合，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=AB＝2．

∴AC＝2時，四邊形EDCF是正方形．

故答案為2．