Question

（1）閱讀證明
①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．
②如圖2，已知點P為等邊△ABC外接圓的

BC

上任意一點．求證：PB+PC=PA．
（2）知識遷移
根據（1）的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

BC

上取一點P₀，連接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+

P₀D

；
第三步：根據（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費馬點P，線段

AD

的長度即為△ABC的費馬距離．
（3）知識應用
已知三村莊A，B，C構成了如圖4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），現選取一點P打水井，使水井P到三村莊A，B，C所鋪設的輸水管總長度最小．求輸水管總長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據已知首先得出△PCE為等邊三角形，進而得出△ACP≌△BCE（SAS）即AP=BE=BP+PE=BP+PC；
（2）利用（1）中結論得出P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；以及線段的性質“兩點之間線段最短”容易獲解；
（3）在（2）的基礎上先畫出圖形，再利用勾股定理求解．

解答：解：（1）如圖2，延長BP至E，使PE=PC．
∵在等邊△ABC中，
∴∠EPC=∠BAC=60°，
∵PC=PE，
∴△PCE為等邊三角形，
∴PC=PE，∠PCE=60°，
∴∠BCP+∠PCE=∠ACB+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCE，
∵在△ACP和△BCE中，

BC=AC ∠BCE=∠ACP CE=PC

，
∴△ACP≌△BCE（SAS）．
∴AP=BE=BP+PE=BP+PC；

（2）由（1）得出：第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

BC

上取一點P₀，連接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；
第三步：根據（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費馬點P，線段AD的長度即為△ABC的費馬距離．

（3）如圖4，以BC為邊在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD．
∴AD的長就是△ABC的費馬距離．
可得∠ABD=90°
∴AD=

AB2+BD2

=5（km）．
∴輸水管總長度的最小值為5千米．
故答案為：P₀D；AD．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質、三角形相似、解直角三角形等知識．難度很大，有利于培養同學們鉆研問題和探索問題的精神．