Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，OA=OB．

（1）如圖1，求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）如圖2，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，若AD=12，AB=5，求PE+PF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）通過平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)可得，即可證明，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)，即可證明四邊形ABCD是矩形；

（2）連接OP，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得，再根據(jù)矩形和三角形的面積公式即可求解．

（1）∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴四邊形ABCD是平行四邊形

∵

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）連接OP，

∵四邊形ABCD是矩形

∴

在△BAD中，

由勾股定理得

∴

∵矩形的面積是

∴△AOD的面積是

∵△APO、△POD是同底的三角形

∴

∴

∴

故PE+PF的值．