Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C在☉O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F．點P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）若AB= ，AD=2，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵AD與⊙O相切于點A，

∴FA⊥AD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴FA⊥BC，

∵FA經(jīng)過圓心O，

∴F是弧BC的中點，BE=CE，∠OEC=90°，

∴∠COF=2∠BAF．

∵∠PCB=2∠BAF，

∴∠PCB=∠COF，

∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，

∴∠OCE+∠PCB=90°．

∴OC⊥PC，

∵點C在⊙O上，

∴直線PC是⊙O的切線；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=2，

∴BE=CE=1，

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，

∴AE= ，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r，

在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

∴OC2=OE2+CE2，

∴r2=（3﹣r）2+1，

解得r= ，

∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．

∴△OCE∽△CPE，

∴ ．

∴ = ，

∴CP= ．

【解析】（1）連接OC，首先依據(jù)切線的性質(zhì)可得到FA⊥AD，然后平行線的定義可得到AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是弧BC的中點，BE=CE，∠OEC=90°，然后結(jié)合條件∠PCB=2∠BAF，可得到∠OCE+∠PCB=90°，最后，再依據(jù)切線的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）依據(jù)勾股定理可求得AE的長，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3-r，在Rt△OCE中，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程可求得r的值，接下來，再證明△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求得線段PC的長.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．