Question

已知：拋物線y=-x²+（k+1）x+2k+1經過點A（0，3）．
（1）求k的值；
（2）設拋物線交x軸于B、C兩點（B在C右邊），點P（m，n）是拋物線上的一個動點，且位于直線AB上方，設△PAB的面積為s，試寫出s關于x的函數關系式，并求出s的最大值；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過點A（0，3），
∴2k+1=3，
∴k=1；

（2）作PD⊥x軸于點D，交直線AB于E點，
∵k=1時，拋物線解析式為y=-x²+2x+3，則A（0，3），B（3，0），
∴直線AC解析式為y=-x+3，
∵點P（m，n）在拋物線上，
∴n=-m²+2m+3，PE=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m，
∴s=×PE×OB=（-m²+3m）=-（m-）²+，
∴當m=時，s取最大值為；

（3）設圓的半徑為r．
①當EF在x軸上方時，
由拋物線及直線與圓相切的性質可得：點F的坐標為（r+1，r）
代入y=-x²+2x+3得：-（r+1）²+2（r+1）+3=r，
即r²+r-4=0
解得：（r取正數）
②當EF在x軸下方時，
由拋物線及直線與圓相切的性質可得：點F的坐標為（r+1，-r），
代入y=-x²+2x+3得：-（r+1）²+2（r+1）+3=-r，
即r²-r-4=0，
解得：（r取正數）
由①②知：或．
分析：（1）將A點坐標代入拋物線解析式，可求k的值；
（2）求出拋物線與直線AB的解析式，用m表示P、E兩點的縱坐標，得出PE長的表達式，由s=×PE×OB求△PAB面積的表達式，利用二次函數的性質求最大值；
（3）設圓的半徑為r，分為EF在x軸上方時，EF在x軸下方時，兩種情況，由拋物線與圓的對稱性，圓心在拋物線對稱性x=1上，可知點F的坐標為（r+1，r）或（r+1，-r），分別代入拋物線解析式可求r的值．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據拋物線解析式，形數結合，表示三角形面積，根據圓與拋物線的軸對稱性，確定圓與x軸相切時，F點的坐標．