Question

如圖，已知拋物線y=ax+bx-4經過點A（-2，0），B（4，O）與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式．
（2）若D點坐標為（0，2），P為拋物線第三象限上一動點，連PO交BD于M點，問是否存在一點P，使

OM

OP

=

2

3

？若存在，求P點坐標；不存在，請說明理由．
（3）G為拋物線第四象限上一點，OG交BC于F，求當GF：OF的比值最大時G點的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求函二次數解析式解答；
（2）過點M作MR⊥y軸于R，過點P作PG⊥y軸于G，然后根據△OMR和△OPG相似，利用相似三角形對應邊成比例列式表示出點M、P的坐標之間的關系，再利用待定系數法求一次函數解析式求出直線BD的解析式，設出點M的坐標，再表示出點P的坐標，然后根據點P在拋物線上列出方程求解即可；
（3）過點O作OE⊥BC于E，過點G作GH⊥BC于G，可得△OEF和△GHF相似，然后利用相似三角形對應邊成比例可得

GF

OF

=

GH

OE

，從而得到當GH最大時，比值最大，再求出直線BC的解析式，根據與直線BC平行的直線與拋物線有且只有一個交點時距離最大，然后與拋物線聯立消掉未知數y，利用根的判別式△=0列式求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax+bx-4經過點A（-2，0），B（4，O），
∴

4a-2b-4=0 16a+4b-4=0

，
解得

a= 1 2 b=-1

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-x-4；

（2）如圖1，過點M作MR⊥y軸于R，過點P作PG⊥y軸于G，
則△OMR∽△OPG，
∴

OM

OP

=

MR

PG

=

OR

OG

，
∵

OM

OP

=

2

3

，
∴

xM

-xP

=

yM

-yP

=

2

3

，
∵B（4，O），D（0，2），
∴直線BD的解析式為y=-

1

2

x+2，
∵點M在BD上，
∴設點M的坐標為（2m，-m+2），
則點P的坐標為（-3m，

3

2

m-3），
把點P坐標代入拋物線得，

1

2

×（-3m）²-（-3m）-4=

3

2

m-3，
整理得，9m²+3m-2=0，
解得m₁=

1

3

，m₂=-

2

3

，
∵點P在第三象限，
∴點P的坐標為（-1，-

5

2

）；

（3）如圖2，過點O作OE⊥BC于E，過點G作GH⊥BC于G，
則△OEF∽△GHF，
∴

GF

OF

=

GH

OE

，
∵OE是Rt△OBC斜邊BC上的高，不變，
∴GH最大時，GF：OF的比值最大，
因此，直線BC平移到與第四象限的拋物線有且只有一個交點時距離最大，
令x=0，則y=-4，
∴點C的坐標為（0，-4），
又∵點B（4，0），
∴直線BC的解析式為y=x-4，
設平移直線BC得到y=x+h，
聯立

y=x+h y= 1 2 x2-x-4

，
消掉y得，x²-4x-8-2h=0，
△=b²-4ac=（-4）²-4×1×（-8-2h）=48+8h=0，
解得h=-6，
解得

x=2 y=-4

，
∴點G的坐標為（2，-4）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，互相平行的直線的解析式的k值相等，作輔助線構造出相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．