Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=25，AB=12，點E、F分別是AD、BC上的點，且DE=CF=9，連接EF、DF、AF．取AF的中點為G，連接BG，將△BFG沿BC方向平移，當點F到達點C時停止平移，然后將△GFB繞C點順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到△B1CG1（點G的對應點為G1，點B的對應點為B1），在旋轉過程中，直線B1G1與直線EF、FD分別相交M、N，當△FMN是等腰三角形，且FM=FN時，線段DN的長為 ．

Answer 1

【答案】．

【解析】

試題解析：如圖，作FL⊥BG于L，FH⊥MN于H，CK⊥MN于K，CR⊥FH于R．FH交ED于T，作TQ⊥DF于Q．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD=12，AD=CF=25，

∵DE=CF=9，又∵DE∥CF，

∴四邊形DEFC是平行四邊形，

∵∠EDC=90°，

∴四邊形DEFC是矩形，同理四邊形AEFB是矩形，

∴DF==15，AF==20，

∵AG=GF，

∴S△BGF=S△ABF=96=BGLF，

∴FL=，

∵CK=FL，

∴CK=，

∵FM=FN，FH⊥MN，CK⊥MN，CR⊥FH，

∴∠RHK=∠HKC=∠KCR=90°，

∴四邊形RHKC是矩形，

∴RH=CK=，

∴∠MFH=∠NFH，

∴TE=TQ，設TE=TQ=x，

在RT△TQD中，∵TQ2+QD2=TD2，

∴x2+32=（9-x）2，

∴x=4，

∴FT=，

∵∠EFT+∠CFR=90°，∠CFR+∠FCR=90°，

∴∠EFT=∠FCR，∵∠FET=∠CFR=90°，

∴△FET∽△CFR，

∴，

∴，

∴RF=，

∴FH=FR+RH=，

∵∠HFN=∠HFM，

∴cos∠HFN=，

∴，

∴FN=3，

∴DN=FN-DF=．