Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°，D為BC的中點，以AC為直徑的⊙O交AB于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

連接OE、EC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

∵D為BC的中點，

∴ED=DC=BD，

∴∠1=∠2，

∵OE=OC，

∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，

即∠OED=∠ACB，

∵∠ACB=90°，

∴∠OED=90°，

∴DE是⊙O的切線

（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，

∵在Rt△BEC與Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，

∴△BEC∽△BCA，

∴ = ，

∴BC2=BEBA，

∵AE：EB=1：2，設AE=x，則BE=2x，BA=3x，

∵BC=6，

∴62=2x3x，

解得：x= ，

即AE=

【解析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根據切線的判定得出即可；（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．