Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

（1）由題知：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

解得：

a=-1 b=-2

∴所求拋物線解析式為：
y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線解析式為：
y=-x²-2x+3，
∴其對稱軸為x=

-2

2

=-1，
∴設P點坐標為（-1，a），當x=0時，y=3，
∴C（0，3），M（-1，0）
∴當CP=PM時，（-1）²+（3-a）²=a²，解得a=

5

3

，
∴P點坐標為：P₁（-1，

5

3

）；
∴當CM=PM時，（-1）²+3²=a²，解得a=±

10

，
∴P點坐標為：P₂（-1，

10

）或P₃（-1，-

10

）；
∴當CM=CP時，由勾股定理得：（-1）²+3²=（-1）²+（3-a）²，解得a=6，
∴P點坐標為：P₄（-1，6）
綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為P（-1，

10

）或P（-1，-

10

）
或P（-1，6）或P（-1，

5

3

）；

（3）過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0）
∴EF=-a²-2a+3，BF=a+3，OF=-a
∴S_{四邊形BOCE}=

1

2

BF•EF+

1

2

（OC+EF）•OF
=

1

2

（a+3）•（-a²-2a+3）+

1

2

（-a²-2a+6）•（-a）
=-

3

2

a2-

9

2

a+

9

2

=-

3

2

(a+

3

2

)2+

63

8

∴當a=-

3

2

時，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為

63

8

．
此時，點E坐標為（-

3

2

，

15

4

）．