Question

【題目】如圖，已知直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+4ax+b經過A、C兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求拋物線的解析式：

（2）點Q在拋物線上，且S△AQC=S△BQC，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）Q（﹣4，2）或（﹣，﹣）.

【解析】

（1）先求出A、C兩點坐標，再利用待定系數法即可解決問題;（2）①分點Q在x軸上方時，根據平行線間的距離相等可得當CQ∥AB時，△AQC和△BQC面積相等，然后根據點Q與點C的縱坐標相等，利用拋物線解析式列式計算即可得解；②點Q在x軸下方時，設CQ與x軸相交于點D，根據△AQC和△BQC面積相等可知AD=BD，然后求出點D的坐標，再利用待定系數法求出直線CD的解析式，與拋物線聯立求解即可得到點Q的坐標．

（1）∵當y=0時，則有x+2=0，解得x=﹣5，

∴點A的坐標為（﹣5，0），

∵當x=0時，則有y=2，

∴點C的坐標為（0，2），

∵拋物線y=ax2+4ax+b經過A、C兩點，把（0，2）（﹣5，0）代入得

∴，解得，

∴拋物線為y=﹣x2﹣x+2．

（2）①當Q在x軸上方時（如圖1），

△ACQ和△BCQ同底，若它們的面積相等，則A、B到直線CQ的距離相等，即CQ∥AB；

∵拋物線的對稱軸為x=﹣2，

∴點Q坐標為（﹣4，2）；

②當Q在x軸下方時（如圖2），

，設CQ與x軸交于點D，若△AQC和△BQC面積相等，則有AD=BD

令y=0，則﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣5，x2=1，即AB=6

∴點D的坐標為（﹣2，0）

設直線CD的解析式為y=kx+b，把（0，2）（﹣2，0）代入得

解得,

∴直線CD的解析式為y=x+2，

∵點Q在直線CD與拋物線上，

∴x+2=﹣x2﹣x+2，解得x1=0，x2=﹣，

∴點Q坐標為（﹣，﹣）；

∴點Q的坐標為（﹣4，2）或（﹣，﹣）