Question

【題目】在△ABC中，AC=25，AB=35，tanA=，點D為邊AC上一點，且AD=5，點E、F分別為邊AB上的動點（點F在點E的左邊），且∠EDF=∠A．設AE=x，AF=y．

（1）如圖1，當DF⊥AB時，求AE的長；

（2）如圖2，當點E、F在邊AB上時，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（3）聯結CE，當△DEC和△ADF相似時，求x的值．

Answer 1

【答案】(1)，(2) y=6-（≤x≤35）；(3) x=25或x=5或x=.

【解析】

（1）先根據DF⊥AB，∠EDF=∠A，得出∠ADE=90°，再根據AD=5，tanA=，即可求出AE；

（2）過點D作DG⊥AB，交AB于G，先證出△EDF∽△EAD，得出ED2=AEEF，再求出DG、AG，最后根據EG=x-6，DE2=42+（x-3）2得出42+（x-3）2=x（x-y），再進行整理即可；

（3）先證出∠AFD=∠EDC，再分兩種情況討論：①當∠A=∠CED時，得出，，再把y=6-代入得出5（6-）=x，再解方程即可；②當∠A=∠DCE時，根據△ECD∽△DAF得出，，再把y=6-代入得出5（6-）=x，求出方程的解即可．

（1）∵DF⊥AB，

∴∠AFD=90°，

∴∠A+∠ADF=90°

∵∠EDF=∠A，

∴∠EDF+∠ADF=90°，

即∠ADE=90°，

在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=5，tanA=

∴DE=，

∴AE=，

（2）過點D作DG⊥AB，交AB于G，

∵∠EDF=∠ADE，∠DEF=∠AED，

∴△EDF∽△EAD，

∴，

∴ED2=AEEF，

∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=，

∴DG=4，AG=3，

∴EG=x-3，

∴DE2=42+（x-3）2，

∴42+（x-3）2=x（x-y），

∴y=6-（≤x≤35）；

（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，

∴∠AFD=∠EDC，

①當∠A=∠CED時，

∵∠EDF=∠A，

又∵∠CED=∠FDE，

∴DF∥CE

∴，

∴

∵y=6-，

∴5（6-）=x，

x1=25，x2=5；

②當∠A=∠DCE時，

∵∠EDF=∠A，

∴△ECD∽△DAF

∴，，

∵y=6-，

∴5（6-）=x，

∴x=，

∴當△DEC和△ADF相似時，x=25或x=5或x=.