Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，有一點C，過點C分別作CA⊥x軸，CB⊥y軸，點A、B是垂足．
定義：若長方形OACB的周長與面積的數值相等，則點C是平面直角坐標系中的平衡點．
（1）請判斷下列是平面直角坐標系中的平衡點的是；（填序號）
①E（1，2）②F（﹣4，4）
（2）若在第一象限中有一個平衡點N（4，m）恰好在一次函數y=﹣x+b（b為常數）的圖象上；
①求m、b的值；
②一次函數y=﹣x+b（b為常數）與y軸交于點D，問：在這函數圖象上，是否存在點M，使S△OMD=3S△OND ， 若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）過點P（0，﹣2），且平行于x軸的直線上有平衡點Q嗎？若有，請求出平衡點Q的坐標；若沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）②
（2）

解：①∵N是第一象限中的平衡點，

∴4m=2（4+m），解得m=4，

∴N（4，4），

∵N點在y=﹣x+b的圖象上，

∴4=﹣4+b，解得b=8；

②由①可知一次函數解析式為y=﹣x+8，

∴D（0，8），

∴OD=8，且N（4，4），

∴S△OND= ×4×8=16，

∴S△OMD=3S△OND=3×16=48，

設M坐標為（t，﹣t+8），則M到y軸的距離為|t|，

∴ ×8×|t|=48，解得t=12或t=﹣12，

當t=12時，﹣t+8=﹣4，當t=﹣12時，﹣t+8=20，

∴存在滿足條件的點M，其坐標為（12，﹣4）或（﹣12，20）；

（3）

解：∵PQ∥x軸，且P（0，﹣2），

∴可設點Q坐標為（x，﹣2），

∵點Q為平衡點，

∴2|x|=2（|x|+2），該方程無解，

∴不存在滿足條件的Q點．

【解析】解：（1）∵1×2≠2×（|﹣1|+2），4×4=2×（|﹣4|+4），
∴點E不是平衡點，點N是平衡點，
所以答案是：②；
【考點精析】利用一次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小．