Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求證：BC=AB；

（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、證明過程見解析；（3）、8.

【解析】

試題分析：（1）、根據OA=OC得出∠A=∠ACO，根據∠COB=2∠A，，∠COB=2∠PCB，則∠A=∠ACO=∠PCB，根據AB為直徑得出∠ACO+∠OCB=90°，則∠∠PCB+∠OCB=90°，得出切線；（2）、根據AC=PC得出∠A=∠P，則∠A=∠ACO=∠PCB=∠P，根據∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB得出∠COB=∠CBO，然后得出答案；（3）、連接AM、BM，根據M是弧的中點得出∠ACM=∠BCM，根據∠ACM=∠ABM得到∠BCM=∠ABM，從而得出△MBN∽△MCB，根據相似比得出BM2=MN·MC；根據等腰直角△ABM中AB的長度得出AM和BM的長度，然后計算.

試題解析：（1）、如圖∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，又∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∴∠PCO=90°，即OC⊥CP， 而OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；.

（2）、∵AC=PC，∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P， 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，∴BC=AB；

（3）、連接MA，MB，∵點M是弧AB的中點， ∴，∴∠ACM=∠BCM，∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，

又∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴＝， ∴BM2=MN·MC，

又∵AB是⊙O的直徑，，∴∠AMB=90°，AM=BM，

∴AB=4，∴BM=2，∴MN·MC=BM2=（2）2=8