Question

【題目】數學問題：計算（其中m，n都是正整數，且m≥2，n≥1）．

探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．

探究一：計算．

第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，…；

…

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．

根據第n次分割圖可得等式： =1﹣．

探究二：計算．

第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，…；

…

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．

根據第n次分割圖可得等式： =1﹣，

兩邊同除以2，得=.

探究三：計算．

（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）

解決問題：計算．

（只需畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空）

根據第n次分割圖可得等式：　　　　　　，

所以， =　　　　　　．

拓廣應用：計算．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】試題分析：探究三：根據探究二的分割方法依次進行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可；

解決問題：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出陰影部分的面積及，再除以（m-1）即可得解；

拓廣應用：先把每一個分數分成1減去一個分數，然后應用公式進行計算即可得解．

試題解析：探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，

其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，

陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，

…，

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，

所有陰影部分的面積之和為：

最后的空白部分的面積是，

根據第n次分割圖可得等式： =1﹣，

兩邊同除以3，得=；

解決問題： ，

；

故答案為： =1﹣， ；

拓廣應用： ，

=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，

=n﹣（+++…+），

=n﹣（﹣），

=n﹣+．