Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D，E分別在AC，BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE，DF，EF．在此運動變化的過程中，下列結論：

①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE不可能為正方形，
③DE長度的最小值為4；
④四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤△CDE面積的最大值為8．
其中正確的結論是（ ）
A.①②③
B.①④⑤
C.①③④
D.③④⑤

Answer 1

【答案】B
【解析】解：連接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF（SAS）；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形（故①正確）．

當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形（故②錯誤）．

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF
∴S四邊形CEFD=S△AFC，（故④正確）．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；

即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF= BC=4．

∴DE= DF=4 （故③錯誤）．

當△CDE面積最大時，由④知，此時△DEF的面積最小．

此時S△CDE=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正確）．

故B符合題意.
故答案為：B．

連接CF.先證明△ADF≌△CEF可得EF=DF、∠CFE=∠AFD，再由∠AFD+∠CFD=90°可得∠EFD=90°，從而判斷①；
當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，從而判斷②；
由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小，即當DF⊥AC時，DE最小，從而求出DF的值，進而可得DE的值，可判斷③；
由△ADF≌△CEF可得S四邊形CEFD=S△AFC，從而判斷④；
由④知，此時△DEF的面積最小．此時S△CDE=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF，從而求出△CDE的面積，可判斷⑤.