Question

【題目】已知直線y=kx+1經過點M（d，﹣2）和點N（1，2），交y軸于點H，交x軸于點F．

（1）求d的值；

（2）將直線MN繞點M順時針旋轉45°得到直線ME，點Q（3，e）在直線ME上，①證明ME∥x軸；②試求過M、N、Q三點的拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，連接NQ，作△NMQ的高NB，點A為MN上的一個動點，若BA將△NMQ的面積分為1：2兩部分，且射線BA交過M、N、Q三點的拋物線于點C，試求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）d=﹣3；

（2）①證明見解析，

②y=﹣x2+；

（3）點C的坐標為（1﹣2，2﹣2）和（1，2）．

【解析】

試題分析：（1）把點N（1，2）代入y=kx+1，得k，再把M點坐標代入已知直線解析式得d；

（2）由（1）可知直線MN：y=x+1與x軸夾角為45°，將直線MN繞點M順時針旋轉45°得到直線ME，此時ME∥x軸；由此可以判斷點Q的縱坐標與點M相同，e=﹣2，已知M、N、Q三點坐標，可求拋物線解析式；

（3）有兩種可能，即S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ；△NMQ的面積為已知，線段MB長已知，可求點A到BM的距離，又點A在直線MN上，可求點A坐標，用“兩點法”求直線AB解析式，再與拋物線解析式聯立，可求C點坐標．

試題解析：（1）把點N（1，2）代入y=kx+1，得k=1

∴y=x+1

∵點M（d，﹣2）在直線y=x+1上

∴d=﹣3

（2）①∵y=x+1分別交x軸、y軸于點F、H．

∴F（﹣1，0），H（0，1），

∴OF=OH=1

∴∠HFO=∠NME=45°，

∴ME∥x軸

②又∵點Q（3，e）在直線ME上，

∴Q（3，﹣2）

設過M（﹣3，﹣2），N（1，2），Q（3，﹣2）的拋物線為y=ax2+bx+c

代入三個點的坐標得

解得

∴y=﹣x2+

（3）設A（m，n），A到MQ的距離為h，則

S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ

當S△AMB=S△NMQ時，得MBh=×MQNB ①

∵NB是△NMQ的高，

∴B（1，﹣2）

∴MB=4，MQ=6，NB=4

∴由①式得h=2，

∴n=2﹣2=0，m=﹣1

∴A（﹣1，0）

設直線AB的解析式為y=kx+b，代入A（﹣1，0）和B（1，﹣2），得k=﹣1，b=﹣1

解方程組

得（舍去）

∴C（1﹣2，2﹣2）

當S△AMB=S△NMQ時，可得h=4，n=2，m=1

此時點A（1，2）為滿足條件的點

綜上可知，所求點C的坐標為（1﹣2，2﹣2）和（1，2）．