Question

【題目】將一個直角三角形紙板ABC放置在銳角△PMN上，使該直角三角形紙板的兩條直角邊AB，AC分別經過點M，N．

（發現）

（1）如圖1，若點A在△PMN內，當∠P=30°時，則∠PMN+∠PNM=______°，∠AMN+∠ANM=______°，∠PMA+∠PNA=______°．

（2）如圖2，若點A在△PMN內，當∠P=50°時，∠PMA+∠PNA=______°．

（探究）

（3）若點A在△PMN內，請你判斷∠PMA，∠PNA和∠P之間滿足怎樣的數量關系，并寫出理由．

（應用）

（4）如圖3，點A在△PMN內，過點P作直線EF∥AB，若∠PNA=16°，則∠NPE=______．

Answer 1

【答案】（1）150，90，60；（2）40；（3）∠PMA+PNA+∠P=90°；（4）106°

【解析】

（1）先判斷出∠AMN+∠ANM=90°，進而得出∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，即可得出結論；

（2）同（1）的方法即可得出結論；

（3）同（1）的方法即可得出結論；

（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，進而求出∠PMA+∠MPN=74°，即可求出∠FPM+∠MPN=74°，最后用平角的定義即可得出結論．

解：（1）∵△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠AMN+∠ANM=90°，

在△PMN中，∠P=30°，

∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=150°，

∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=150°，

∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=150°-90°=60°，

故答案為：150，90，60；

（2）∵△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，∠P=50°，

∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P=130°，

∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=130°，

∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=130°-90°=40°，

故答案為40；

（3）∵△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠AMN+∠ANM=90°，在△PMN中，

∴∠PMN+∠PNM=180°-∠P，

∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA=180°-∠P，

∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）=180°-∠P-90°=90°-∠P，

即：∠PMA+PNA+∠P=90°，

（4）由（3）知，∠PMA+PNA+∠MPN=90°，

∵∠PNA=16°，

∴∠PMA+∠MPN=90°-∠PNA=74°，

∵EF∥AB，

∴∠PMA=∠FPM，

∴∠FPM+∠MPN=74°，

即：∠FPN=74°，

∴∠NPE=180°-∠FPN=106°，

故答案為：106°．